Mathematische Modellierung von Produktionsproblemen

Game Changer in der Produktionsplanung

15.02.2021

Mathematische Modelle werden überwiegend in der Wissenschaft verwendet, insbesondere der Naturwissenschaften. Klassische Einsatzgebiete sind hier die theoretische Physik oder zur Zeit sehr prominent die Epidemiologie. Aber auch, und hier natürlich besonders nah thematisch verbunden, im Gebiet von Operational Research, mit all den Fragestellungen der Unternehmensplanung und der Logistik.

Über mathematische Modelle und reale Probleme

Auf den ersten Blick mögen die Mathematik und ihre theoretischen Modelle mit der realen Welt wenig gemeinsam haben. Bereits in der Schule wird im selten beliebten Unterrichtsfach Mathematik oft die Frage gestellt: Wozu braucht man denn das? Riskiert man aber einen zweiten gezielten Blick, so lässt sich erkennen, dass mathematische Modelle hinter vielen Prozessen des Alltags und realen Fragestellungen liegen. Bloß wo? Beispielsweise: Die nagenden Überlegungen der Studenten, den kürzesten Weg zwischen den Stationen des pub crawls zu finden. Die Anstrengungen der Junggastronomin, eine ideale Preisgestaltung der Speisekarte vorzunehmen. Das Bestimmen der optimalen Mengen an Verpflegung und Getränken für das Sommerfest. Wie kann der Unternehmer Bruno Bank die Bedingungen seiner Geldgeberin erfüllen? Doch dazu etwas später. All diese Fragestellungen lassen sich mittels mathematischer Modelle beschreiben und folglich mit mathematischen Methoden berechnen und lösen.

Klarerweise werden mathematische Modelle überwiegend in der Wissenschaft verwendet, insbesondere in den Naturwissenschaften. Ganz klassisch und seit jeher in der theoretischen Physik, die mit ihren mathematischen Modellen physikalische Prozesse erklärt. Unter anderem auch in der Epidemiologie, die in letzter Zeit besonders ins Rampenlicht gerückt ist und mit passenden Modellen die Verbreitung von Viren beschreibt. Aber auch, und hier natürlich besonders nah thematisch verbunden, im Gebiet von Operational Research, mit all den Fragestellungen der Unternehmensplanung und der Logistik.

Was kann man aber nun unter einem mathematischen Modell verstehen? Ein mathematisches Modell kann als Menge an mathematischen Funktionen, Vorschriften, Gleichungen und Ungleichungen gesehen werden, die in ihrer Gesamtheit eine reale Fragestellung in der Sprache der Mathematik beschreiben. Zielführenderweise sollte das Modell berechenbar sein, sodass man es mit mathematischen Werkzeugen auch berechnen und lösen kann. Für die Modellierung, also der Schritt von der realen Fragestellung zum Modell, gibt es leider kein allgemein gültiges Vorgangsrezept. Ein paar grundlegende Richtlinien helfen aber. Was ist wesentlich, auf was kann verzichtet werden? Es ist wichtig, nur jene Aspekte zu modellieren, die für den Prozess wirklich relevant sind. Bei einem Modell handelt es sich in der Regel immer um eine Vereinfachung der realen Ausgangslage. Wie genau müssen die Antworten sein? Auch lohnt es, sich Gedanken über die verwendeten Skalen und Einheiten (z.B. Ort und Zeit) zu machen. Die Verwendung von passenden Skalen hilft, das Modell in einer berechenbaren sinnvollen Größe zu halten. Und zu guter Letzt, welche Ziele sollen erreicht werden? Es ist oft nicht offensichtlich, von einer realen Fragestellung eine klare Zielvorgabe abzuleiten, für ein gutes Modell ist dies aber unerlässlich.

Die Kunst der mathematischen Modellierung liegt nun also darin, ein möglichst einfaches Modell zu erstellen, welches die ausgehende reale Fragestellung möglichst gut beschreibt. Dabei ist der Prozess der Modellierung kein fixer Ablauf von sequenziellen Arbeitsschritten. Es gibt keine feste Vorgehensweise, keine Rezeptur die immer zum Erfolg führen wird. Vielmehr kann man den Modellierungsprozess schematisch als Kreislauf verstehen, dessen Schritte in der Regel öfters durchlaufen werden müssen.

>>Lesen Sie hier ein kleines Beispiel zum Kennenlernen – Bruno Banks Bierbank Garnituren

Quellenangaben und Literaturbeispiele:

H. Paul Williams, Model Building in Mathematical Programming, 5th edition, 2013, John Wiley & Sons Ltd.
Laurence A. Wolsey, Integer Programming, 1998, John Wiley & Sons Inc.
Yves Pochet, Laurence A. Wolsey, Production Planning by Mixed Integer Programming, 2006, Springer Science+Business Media, Inc.
George L. Nemhauser, Laurence A. Wolsey, Integer and Combinatorial Optimization, 1999, John Wiley & Sons Inc.